ころがる剛体と摩擦力(c)

水平面上に、質量{m}、半径{r}、慣性モーメント{I}の円形の物体におき、上部を力{F}で押します。 物体の重心の水平方向の位置を{x}、回転角を{\theta}とします。

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このときも直感的には床との間の摩擦力{f}が図の方向に働くことが予想されますが、これは自明なことなのか、ちょっと迷うところです。

 {
\begin{align}
\mbox{運動方程式:}\ \ &  F+f\ =\ m\ \ddot{x}\qquad \cdots\ (1) \\
\\
\mbox{回転の運動方程式:}\ \ &  Fr-fr\ =\  I\ \ddot{\theta} \\
\mbox{(両辺を$r$で割って)}\ \ & F-f\ =\ \frac{I}{r}\ \ddot{\theta} \qquad \cdots\ (2) 
\end{align}
}

(1)と(2)の辺々をたしあわせると、

 {\displaystyle 2F\ =\ m\ \ddot{x}\ +\ \frac{I}{r}\ \ddot{\theta}\qquad \cdots\ (3)}

物体が円柱の場合には、 {\displaystyle I=\frac{mr^{2}}{2}} なので、整理すると、

 {\displaystyle 
F\ =\ \frac{1}{2}mr\ \ddot{\theta}\ +\ \frac{1}{2}mr\ \ddot{\theta}\ =\ \frac{3}{4}mr\ \ddot{\theta}
}

{\theta=x/r}を用いると、

 {\displaystyle 
F\ =\ \frac{3}{4}m\ \ddot{x}\qquad \mbox{または}\ \qquad F\ = \frac{3}{4}mr\ \ddot{\theta}
}

(1)と合わせると、摩擦力の大きさは、{\displaystyle f=\frac{1}{3}F}となります。

【別解】ラグランジアンによる解法

確認のためにラグランジアン{L}からも求めてみます。

物体の運動は、重心の水平方向の位置{x}と回転角{x}を使って表すことができます(一般化座標{(x,\ \theta)})。
すべりがない場合、ホロノミックな拘束条件は{x-r\theta=0}と表され、ラグランジュの未定係数{\lambda}を用いて、{L}の中に組み込みます。

 {\displaystyle 
L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}I\dot{\theta}^2+\lambda(x-r\theta)
}

一般化座標{(x,\ \theta)}仮想仕事 {\delta W}を考えるとき、 仮想の変位{\delta x}による仕事と、仮想の変位{\delta \theta}による仕事に別けられ、さらに{\delta x}共役な一般化力{Q_x}{\theta}共役な一般化力{Q_\theta}とすると、

 {\displaystyle 
\begin{align}
\delta W&=Q_{x}\cdot \delta x + Q_{\theta}\cdot \delta\theta \\
&= F\cdot \delta x + Fr\cdot\delta\theta
\end{align}
}

となり、{Q_x=F}{Q_\theta=Fr}となります。

ラグランジュの運動方程式は、

 {\displaystyle 
\begin{align}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} &= m\ddot{x}-\lambda = F \qquad \cdots\ (4)\\
& \\
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta} &= I\ddot{\theta}+r\lambda = Fr\\
\mbox{(両辺を$r$で割って)} &\ \ \frac{I}{r}\ddot{\theta} - F = -\lambda \qquad \cdots\ (5)
\end{align}
}

(4)と(5)を連立させると、先の解法の答え(3)と同じ式になります。

【振り返り】床においた剛体の回転:力の作用点による仕事の差

振り返ってみると、同じ大きさの力を、重心に加えた場合と、重心からずれた点に加えた場合、

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上図のように、重心に力を加えて、{x}だけ動かしたときの仕事は{Fx}だけですが、 下図の場合、重心を{x}動かすには、上端を{x+r\theta=2x}動かす必要があり、その結果の仕事は{F\times 2x}と、倍になってしまいます。
上図と下図の仕事の差は、回転に要する仕事です。