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ころがる剛体と摩擦力(a)

質量{m}、半径{r}、慣性モーメント{I}の円形の物体に、重力が働かない空間で、ひもを巻きつけた物体を接線方向に力{F}で引張ります。 物体の重心の水平方向の位置を{x}、回転角を{\theta}とします。

f:id:IresAdoheom:20161106113741p:plain:w300

{F}等価変換して、重心に作用する並進力{F}と、力のモーメント{Fr}に分解しています。

 {
\begin{align}
\mbox{運動方程式:}\ \ &  F\ =\ m\ \ddot{x}\qquad \cdots\ (1) \\
\\
\mbox{回転の運動方程式:}\ \ &  F\cdot r\ =\  I\ \ddot{\theta} \\
\mbox{(両辺を$r$で割って)}\ \ & F\ =\ \frac{I}{r}\ \ddot{\theta} \qquad \cdots\ (2) 
\end{align}
}

(1)と(2)を連立させると、

 {\displaystyle m\ \ddot{x}\ =\ \frac{I}{r}\ \ddot{\theta}}

物体が円柱の場合には、 {\displaystyle I=\frac{mr^{2}}{2}} なので、整理すると、

 {\displaystyle \ddot{x}\ =\ \frac{r}{2}\ \ddot{\theta}}

 
初期位置、初期速度、初期角度、初期角速度がすべてゼロとすれば、

 {\displaystyle x\ =\ \frac{r\theta}{2}\ }